主様がご家族に説明することも大切ですが、ご家族の方が何故ロリータやコスを嫌うのか、何がそんなに嫌なのか、ということを突き詰めて訊いてみることが必要ではないでしょうか？
読んだ限りでは世間体を気にしているようにも取れますので、「何が嫌なのか」と訊くだけではなく、「どうして、どこが、どういう理由で」を尋ねなければ、ご両親に納得してもらえる答えは用意できないのではないでしょうか？