最初のご質問の事なのですが…
ハッキリ言ったり、無視したりするのも方法かと思いますが、逆に相手に『浮気されているのではないか?』と誤解されトラブルになる可能性もあると思います。

彼はアナタが好きだからこそ、時間ギリギリまで電話なりメールなどで接していたい。からこその行動ではないかと思います。

言い方を考えるのであれば、「〇〇時にはもう寝てるから電話やメールされても出れないよ」…などあたり触りのない事を言ってみると良いかも知れません。

…ですが、付き合い始めたばかりの人達には、よくある事ではないでしょうか?

なので、もうしばらくすれば彼も落ち着くかも知れません。