さりげなく、ブログを開設するように勧めてはいかがでしょうか？
『私だけじゃなくて、他のにも見せたらいいと思うな。ブログなんか便利じゃない？』など…。

恥ずかしながら当方もＡさんのような時期がありました。(写メはないですが、その日あったことを何でもかんでも送りつけていました；)
今振り返ると、非常に寂しくて、誰かに聞いてほしくて、まるで日記のように思っていたのかもしれない…と反省しています。
Ａさんも無意識のうちに寂しいのだと思います。
『やめて！』と伝えてしまうといきなり疎遠になる可能性もあると思うので、ブログでなくても他のこと(mixiやプロフ付属の日記)に置き換えるよう、勧めてみてはどうでしょうか？