「もう」３ヵ月ではなく、「まだ」３ヵ月です。
まだまだ恋人と言う新しい関係になってたった３ヶ月しか経っていません。

その間、どれ位逢われていますか？
付き合っている期間より、一緒に居た時間が自然と間を縮めてくれますよ。

今、無理して「恋人っぽい自分」を作ることは決して彼も望まないと思います。
「恋人っぽく振舞うスレ主様」が好きなのではなくて、その不器用な面も含めた態度が彼からすると可愛らしく見えるのではないでしょうか。
だって、彼が好きになったのは恋人になる前の素のスレ主様なんです。
それに、スレ主様が恋人っぽく振舞えないと思っていても彼はそう思ってないかもしれませんよ。
そうやって照れてそっけない態度をとる時、照れてるのが分かると思うので、それこそ初期の恋人らしいと思います。

どうしても悩んで悩んで楽しくお付き合いできない位になってしまったら、率直に彼に話されることをお勧めします。(メールででも)
彼からしてもスレ主様のそういった面を理解できるいいきっかけになるでしょうし、そういった風に悩むということは自分のことを好きでいてくれている何よりの証拠だと思うので、嬉しいと思いますよ。

それよりも、今しかない、その初々しい時期を楽しまれてはどうでしょうか？

メールで「恋人っぽい」会話が出来るなら十分だと思いますし、何よりそれ位の方が長く続くと思います。