結局何が聞きたいのかよくわからないのですが…。
当方に読解力がないだけかもしれませんが、色々と書きすぎていて、結局何を相談したいのかよくわかりません…。

手紙を出す際ですが、相手が『そんな事は言ってない』等最初のメールと異なった事を言ってる場合にはメールのコピーが必要だと思いますが、仮にも『返金する』と言ってる以上は必須ではないかと。
ですが家族にも見て頂きたいのなら、同封した方がわかりやすいと思いますが、封筒よりも葉書に取引の精細・返金要求を書いた方がすぐに読んで頂ける気がします。
内容等は他レスにも書かれていますので、参考に出来ると思います。

また身内に警察がいるのでしたら、ここで素人に聞くよりも、直接何をしたらいいか、葉書を送るのに何を書いたらいいか相談する方が的確だと思います。
(『警察』に相談ではなく、身内として相談に乗ってもらう程度)

最初にも書きましたが、いまいち何を重点的に相談に乗ってほしいのかわからない為、的外れな回答及び不快に思われたら申し訳ございません。

まず娘が入院してるから退院してから返金させるというのが有り得ません。親なら立て替えて返すか、娘の口座から振り込めます。それに身内の不幸の後に娘が入院したのなら、他人にメール送る余裕なんてありません。面倒を抱え込むことを避けますから、やはり謝罪をして即返金します。
詐欺対策はフリマ板をスレを見て対処して下さい。
ただ身内に警察がいるからって何の解決にもなりませんよ。少額じゃ警察は一切動きませんので。身内だろうが贔屓は出来ないしそんな力は一警官にはありませんし。